Resolução de Problemas

Desenvolver nos alunos a capacidade de resolver problemas (de diferente tipologia e utilizando diversificadas estratégias de resolução) e promover o raciocínio e a comunicação (oral, escrita, iconográfica…) em matemática, constituem objectivos centrais do (novo) Programa de Matemática do Ensino Básico (2009).

Nesta perspectiva, para além da resolução de problemas que vão surgindo no dia-a-dia da sala de aula, contextualizados em situações próximas das vivenciadas pelos alunos, semanalmente, propõe-se aos alunos a resolução de um problema, seguindo a metodologia de Polya (1987, 2003) (compreensão do problema, elaboração de um plano para a sua resolução, execução do plano e comunicação de processos e produtos) e de acordo com a tipologia de Charles e Lester (1986, in Vale e Pimentel, 2004).

Este tipo de actividade tem sido realizado em trabalho de pares, facto que tem contribuído para construção de aprendizagens, não só no âmbito da matemática, mas também no que concerne às atitudes e valores, pois tem  servido para que os alunos ouçam e respeitem as ideias dos outros, tomem consciência que há diferentes formas de ver e pensar  perante uma mesma situação e tem servido de apoio aos alunos com mais dificuldades (não deixando que estes desistam, desanimem… perante as dificuldades).

Não são actividades fáceis para alunos do 2º ano de escolaridade mas, com maior ou menor apoio da professora,  os alunos têm reagido bem às propostas e passo a passo se vão construindo novos saberes (Ser, Estar, Fazer).

Como não podia deixar de ser, aqui ficam algumas das situações problemáticas já resolvidas pelos alunos, bem como registos dos seus produtos.

“BRINCADEIRAS NO RECREIO”

Este era um problema em que apesar de subentendido, não era dada a localização de um dos alunos (o Gonçalo). Apesar disso, quase todos os alunos resolveram o problema colocando o Gonçalo no sitio certo da roda.

"O desenho como estratégia de resolução do problema"

Novo par... a mesma estratégia de resolução

“COLAGENS”

A etapa fundamental – a compreensão do problema…
Depois de compreendido, surge a resolução do problema…

 

O desenho é sempre um boa estratégia para a resolução de um problema e pode ser aliado a outras estratégias como os algoritmos...

O mesmo exemplo mais em pormenor.

 

Isabel Almeida 29/Out./2010

Recursos elaborados: problemas

RESOLUCAO_PROBLEMAS

ROUPA DE EDUCAÇÃO FÍSICA

Problema apresentado segundo o modelo de Polya e resolvido individualmente.

Aqui ficam exemplos dos produtos dos alunos:

Para resolução deste problema, todos os alunos optaram pelo desenho.

Mais exemplos de outros alunos.

 

 

 

 

 

 

 

AS ROSAS DA MAFALDA

Como já referi no início desta página, em sala de aula, os alunos resolvem diferentes tipos de problemas mas, uma vez por semana, é-lhes apresentado um problema de diferente tipologia (seguindo a de Charles e Lester) e que eles podem resolver utilizando mais do que uma estratégia.

Estes problemas são apresentados seguindo um modelo aproximado do que é referido por Polya (1987, 2003) e “obrigam” os alunos a uma apropriação do problema antes de chegarem à sua resolução. Este aspecto tem contribuído para o desenvolvimento da competência de comunicação em matemática, para o desenvolvimento do raciocínio e, sem dúvida,  para que os alunos se tornem bons a resolver problemas.

O problema apresentado tinha dados desnecessários à sua resolução e era importante que os alunos se apercebessem dessa situação, para conseguirem resolver o problema com sucesso.

Aqui são apresentados dois exemplos de como dois alunos resolveram o mesmo problema – As Rosas da Mafalda –  através de diferentes estratégias.

Este aluno optou por resolver o problema através do algoritmo da adição, chegando à resposta correcta.

Este optou por utilizar duas estratégias diferentes: através do desenho e do algoritmo da adição.

Pormenor da forma como a aluna chegou  à solução do problema.

Pormenor da resolução do problema pela Mafalda…

O problema tal como foi apresentado aos alunos:

AS_ROSAS_DA MAFALDA

Isabel Almeida, 20/NOV/2010

 

Problema com “NÚMEROS ORDINAIS” – Um problema… com janelas!

 

Nada melhor do que um problema para contextualizar o uso dos números ordinais, através dos andares de um prédio e respectivas janelas.

Recurso didáctico:

Um problema_com janelas

Isabel Almeida, 26 /Nov./2010

Os livros do Rúben

Os livros do Rúben é um problema de processo.

Para a sua resolução os alunos recorreram ao algoritmo da adição.

Aqui ficam alguns exemplos dos produtos dos alunos:

Recurso didáctico:

LIVROS_RUBEN

Isabel Almeida, 09/Dez./2010

APRENDE-SE A RESOLVER PROBLEMAS, RESOLVENDO PROBLEMAS (POLYA, 1945)

As árvores de Natal da Carolina…

Embora a resolução de problemas nesta turma vá acontecendo no dia-a-dia e de acordo com os contextos/situações que se estão a explorara a nível dae conteúdos matemáticos, semanalmente, procura-se colocar os alunos perante uma situação problemática que fuja quer das trabalhadas nas situações atrás referidas, quer das apresentadas no manual escolar do aluno.

Ontem, dia 10 de Janeiro, em sala de aula, tivemos a oportunidade de resolver um problema, que permitia aos alunos utilizar como estratégia de resolução o preenchimento de uma tabela organizada, para evidenciar relações, padrões ou regularidades (leis de formação).

Na realidade, depois dos dados do problema serem colocados na tabela era possível identificar duas regularidades diferentes: a mais “visível” aos olhos dos alunos era a relação existente de árvore para árvore (+ 1 peça); a menos “visível”, mas que muitos alunos identificaram, era a relação existente entre o número da árvore e o respectivo número de peças que eram necessárias para a construir (+2)

Se a primeira parte do problema era relativamente fácil, a sua extensão, feita através de uma questão, levava os alunos a ter  de reflectir e encontrar a estratégia a seguir e/ou como trabalhar com a primeira tabela e as suas relações para chegar à resposta correcta.

Para finalizar o trabalho os alunos tinham de explicar como chegaram à resposta (da extensão) do problema. Essa foi sem dúvida a parte mais difícil para os alunos. Uma situação é realizar cálculos, raciocínios…, outra bem diferente, e muito mais difícil, é explicar como se fez. Esta situação problemática pedia essa explicação.

Depois de corrigidos os problemas foi gratificante verificar que, num universo de 21 alunos, apenas um não o resolveu com êxito. Para ultrapassar essa situação, a correcção colectiva foi cuidada, explorando todas as estratégias possíveis, todas as regularidades, aproveitando todas as explicações dos alunos para que a a resolução do problema fosse compreensiva pelo aluno que não havia conseguido a sua resolução.

Apresentam-se alguns exemplos do problema resolvido pelos alunos, com realce para a sua explicação final.

Em baixo, no verso da página, a forma como a aluna encontrou a resposta para a última questão, continuando a tabela.

Isabel Almeida, 11/Jan./2011

Hoje, 13 de Fevereiro, deixo exemplos da resolução de mais dois problemas.

Cada um deles com uma particularidade que o torna problema: a dificuldade que o aluno sente na sua resolução e a procura de uma estratégia que o leve a resolvê-lo com sucesso.

Os brinquedos da Cassandra…

Três alunos, três formas diferentes de resolverem a situação problemática:

  • o primeiro aluno recorreu à adição (de parcelas iguais);
  • o segundo aluno compreendeu que tendo uma adição de parcelas iguais podia resolver a situação com o recurso ao algoritmo da multiplicação;
  • o terceiro aluno sabendo a resposta da questão anterior (que correspondia a metade da situação pedida), utilizou esses dados e recorreu a dois a algoritmos diferentes (adição e multiplicação).

O interessante na resolução deste problema é que pretendia-se que ele fosse um bom ponto de partida para a construção da tabuada dos quatro, que ainda não havia sido nem construída pelos alunos, nem apresentada aos mesmos. Grande número de alunos compreendeu e resolveu o problema através da multiplicação.

A correcção colectiva do problema no quadro, utilizando as diferentes estratégias seguidas pelos alunos, serviu de mote para a construção da referida tabuada.

O recurso elaborado:

brinquedos_cassandra

Com o  problema que se segue pretendia-se recordar (voltar a trabalhar) os números ordinais. Para isso recorreu-se à situação de um prédio e respectivos andares, apresentando, desta vez, uma tabela para ser preenchida pelos alunos.

A situação mais importante foi o facto de alguns alunos terem recordado que já haviam resolvido um problema semelhante e no verso da folha fizeram o que haviam feito nesse anterior problema: desenharam um prédio e colocaram cada aluno no respectivo andar.

Esta situação de relembrar um problema idêntico que já foi resolvido,  é referida por Polya (1985), na fase da “elaboração de um plano para resolução do problema”,  constante no modelo de resolução (de problemas) por ele apresentado.

Os amigos do Pedro…

O verso da folha onde o aluno desenhou o prédio

e colocou cada amigo no respectivo andar.

Outro exemplo…

Novamente a conexão com o outro problema…

O recurso elaborado:

Amigos do Pedro

Isabel Almeida, 13/Fev./2011

No dia 25 de Fevereiro, aos alunos do 2º A, foi proposta a resolução de um a situação problemática, cujo enfoque era “Padrões de repetição”, com dois dos sólidos geométricos que temos andado a trabalhar: o cilindro e o cone.

Para a elaboração, com sucesso, das diferentes questões que iam sendo colocadas aos alunos, os mesmos tinham de, em primeiro lugar, identificar qual era o padrão de repetição; a partir daí cada aluno (ou par) podia resolver as questões levantadas através de diferentes estratégias, incluindo quadros, esquemas, algoritmos… No entanto, todos optaram pela sua concretização através do desenho.

A resposta às diferentes questões não foi de todo fácil para alguns alunos. Deu-lhes que pensar, reflectir. Era essa situação que se pretendia: que os alunos se concentrassem na sequência de sólidos, a identificassem, e que a partir dela dessem resposta a todas as questões levantadas.

Aqui ficam alguns momentos de sala de aula e exemplos dos produtos dos alunos.

A situação onde se sente que estes alunos têm mais dificuldades é em descrever a forma como chegaram a determinado resultado e/ou em justificarem-no. É uma situação que tem vindo a ser trabalhada oralmente, mas que na escrita ainda não é fácil. Teremos de continuar a insistir neste aspecto da comunicação em matemática.

O recurso elaborado para o efeito, assim como outro que foi concebido para consolidar o conceito de dobro.

Padrões_REPETICAO_Sólidos

DOBRO

Isabel Almeida, 26/Fev./2011

Os coelhos e as galinhas do Pedro

Já passou um mês desde que aqui foi colocado o problema com os padrões de sólidos, o que não significa que outros não tenham sido realizados em sala de aula, mas sim que o tempo para os colocar cada vez é menos.

Desta vez os alunos resolveram um problema queenvolvia a estratégia comummente chamada de “fazer tentativas/testar conjecturas”. Ou seja o aluno tinha de apresentar uma resposta provável e verificar se a mesma satisfazia ou não as condições do problema. Caso não satisfizesse era necessário que apresentasse outra proposta e a voltasse a testar… até encontrar a solução que ia ao encontro das condições do enunciado do problema.

Todos os alunos resolveram o problema recorrendo, maioritariamente, ao desenho e ou esquemas, havendo alguns que lhes juntaram operações (cálculos).

A exemplo do que tem sido feito noutras situações, era pedido aos alunos que explicassem a forma como tinham chegado à solução. Esta é, sem dúvida, a grande dificuldade dos alunos daí a sua exploração sempre que possível.

Para que possam apreciar o trabalho feito pelos alunos ficam aqui exemplos da resolução do problema desde a fase da compreensão do enunciado, até à explicação de como chegaram à sua resolução.

A parte da compreensão do problema

A forma como o aluno o resolveu (através do desenho)

A explicação dada pelo aluno, respectivamente à forma como chegou ao resultado

Outros exemplos das estratégias usadas pelos alunos e as respectivas explicações:

coelhos_galinhas_Pedro_

Isabel Almeida, 03/Ab/2010


5 respostas a Resolução de Problemas

  1. Márcia Pato diz:

    Olá Professora Isabel!
    Antes de mais reforço a minha admiração pelo excelente trabalho que realiza com os alunos. Desde cedo eu sabia que a Professora iria conseguir pegar na turma e “agarrar os miúdos”.
    A resolução de problemas é, de facto, “um grande problema” para os alunos, mesmo em anos mais avançados, e eu sei o que digo. O novo Programa de Matemática para o Ensino Básico incide na resolução de problemas, e é desde cedo que os alunos devem começar a saber interpretar enunciados, “desmontar” a informação, identificando o que é ou não importante, e definir a estratégia de resolução. A longo prazo os resultados serão visíveis. Os problemas que foram apresentados serão, em anos seguintes, novamente explorados em temáticas diferentes.
    Pela análise das resoluções expostas, verifica-se que os alunos revelam criatividade e motivação neste tipo de actividades.
    Continuação de um bom trabalho.
    Beijinhos.

    • Olá Márcia.
      Obrigada pelo seu comentário.
      Concordo plenamente consigo e sei o quanto é difícil termos alunos “bons” a resolver problemas (de diferente tipologia e recorrendo a diferentes estratégias). Daí a minha preocupação em trabalhar, semanalmente, pelo menos um problema que saia da rotina dos manuais escolares e que “obriguem” os alunos a pensar em diferentes estratégias para a sua resolução, após a sua compreensão.
      Claro que tenho de os adaptar ao 2º ano de escolaridade mas, olhando para o número crescente de alunos que os resolve com sucesso, vale a pena.
      Por exemplo, o problema da “Roupa de educação física” foi um problema que saiu nas primeiras provas de aferição para o 4º ano e que, para muitos alunos, foi um verdadeiro problema… sem resolução. No entanto ele foi resolvido correctamente por um grande números de alunos do 2º ano.
      Obrigada e bom trabalho também para si.
      Beijinhos.
      Isabel

  2. Kelly Letícia diz:

    Boa noite Isabel, parabéns pelo trabalho de pesquisa, achei muito interessante. Sou graduanda em Matemática e semestre passado escrevemos um artigo (eu e duas colegas), com o tema: A importância da Representação Pictórica na Resolução de Problemas. Observei que na sua prática você encontrou resultados paralelos ao nosso e inclusive temos Polya em comum em nossa Bibliografia. Queria parabenizar seu trabalho, e deixar uma sugestão de leitura, se é que você ainda não leu, Katia Smoole e Maria Ignez “Ler escrever e resolver problemas”. É uma obra fantástica e muito parecida com seu trabalho. Abraço!

    • Olá Kelly.
      Obrigada pelo seu comentário.
      O trabalho que diz ter realizado é extremamente importante, pois uma das formas dos alunos compreenderem e serem capazes de resolver problemas é através da sua representação pictória. Gostava de o ler. Se algum dia o publicar, por favor diga para eu o comprar. Relativamente a Polya, penso que o que o mesmo advoga na resolução de problemas é fundamental para qualquer ano de escolaridade. Os meus alunos que estão agora no 3º ano já o conhecem e resolvem problemas seguindo o modelo por ele apresentado.
      Não conheço as autoras que refere, mas não posso deixar de lhe sugerir uma autora que é em simultâneo investigadora e professora: Celina Tenreiro Vieira, que publicou recentemente o livro “Promover a literacia matemáticas dos alunos – resolver problemas e investigar desde os primeiros anos de escolaridade” (2010). vale a pena ler.
      Se entretanto quiser seguir o trabalho que a turma está a fazer, nós estamos no seguinte endereço: http://3bconstruindosonhosesaberes.wordpress.com/
      ( ou só 3bconstruindosonhosesaberes).
      Bjos.
      Isabl Almeida

  3. Pingback: Os números de 2011 | 2ºA_construindosonhosesaberes

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